Warto pamiętać, że funkcja $f$ z tego lematu nie jest funkcją $f$ z właściwego dowodu.
Teza
$$
\forall_{a,b\in E} \|f(b)-f(a)\|\le M\|b-a\|
$$
Zaznaczmy jeszcze, że w tym lemacie $f(a)$ i $a$ znajdują się w różnych przestrzeniach, więc normy te są odpowiednimi normami w każdej z tych przestrzeni.
Dowód
Wybierzmy dwa dowolne punkty $a$ i $b$ należące do zbioru $E$: $a,b\in E$.
Zdefiniujmy funkcję pomocniczą $\gamma$: $[0,1]\subset \mathbb{R}\rightarrow E\subset \mathbb{R}^n$:
$$
\gamma(t)=(1-t)a+tb.
$$
Funkcja $\gamma$ to nic innego jak parametryzacja odcinka łączącego punkty $a$ i $b$ ze zbioru $E$. Wiemy, że każdy punkt tego odcinka należy do $E$, gdyż założenia mówią, że jest to zbiór wypukły.
Zdefiniujmy teraz funkcję $g$: $[0,1]\subset \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^m $:
$$
g(t)=f(\gamma(t)).
$$
Warto zauważyć, że: $g(1)=f(b)$ oraz $g(0)=f(a)$.
Nie rozumiesz tej animacji? Nie martw się! Nie jesteś sam.
Obliczmy teraz pochodną funkcji $g$:
$$
g'(t)=f'(x)|_{x=\gamma(t)} \gamma'(t)=f'(x)|_{x=\gamma(t)} (b-a).
$$
Korzystaliśmy tutaj ze wzoru na pochodną złożoną.
Licząc dalej normę z tej równości otrzymamy:
$$
\|g'(t)\|\le\|f'(x)|_{x=\gamma(t)}\|\cdot \|b-a\|\le M\|b-a\|.
$$
Skorzystajmy teraz z uogólnionego twierdzenia Lagrange'a, działającego dla funkcji z $\mathbb{R} \to \mathbb{R}^n$.
Twierdzenie Lagrange'a
Niech $\Large f:~\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $\Large f$ ciągła na $\Large [c_1,c_2]$ oraz różniczkowalna na $\Large ]c_1,c_2[$. Wtedy zachodzi:
Dla funkcji różniczkowalnej $h$, która działa z $\mathbb{R}\supset [c_1,c_2] \to \mathbb{R}^n$, prawdziwa jest uogólniona postać twierdzenia Lagrange'a, która wygląda tak:
$$
\exists_{c\in[c_1,c_2]}~\|h(c_1)-h(c_2)\|\le |c_1-c_2|\cdot\|h'(c)\|.
$$
Co dla naszej funkcji $g(t)$ oraz dla $c_1=0$ i $c_2=1$ daje:
$$
\exists_{c\in[0,1]}~\frac{\|g(1)-g(0)\|}{|1-0|}\le \|g'(c)\|.
$$
Ale wiemy, że $g(1)=f(b)$ oraz $g(0)=f(a)$. Wiemy również, że $\|g'(t)\|\le M\|b-a\|$. Czyli otrzymujemy szacowanie:
$$
\|f(b)-f(a)\|\le \|g'(c)\|\le M\|b-a\|.
$$
Co kończy dowód lematu.